http://www.matematika-pasti.blogspot.com

FPB dan KPK

Makalah ini kami buat untuk memenuhi tugas mata kuliah

Teori Bilangan

Disusun oleh :

Hidayatul Munawwaroh

( 210611017 )

Dosen penunjang :

Kurnia Hidayati, M.Pd

KELAS PG A / SEMESTER VI(enam)

Jurusan Tarbiyah Prodi PGMI

Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri

STAIN PONOROGO

2014

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR

 (FPB)

Missal a dab b bilangan-bilangan bulat, dengan sedikit satu diantaranya tidak nol. Factor persekutuan terbesar dari a dan b adalah bilangan positif.

Bilangan bulat d disebut faktor persekutuan terbesar (fpb) dari a dan b  Apabila

1.      d | a dan d | b ,

2.      jika c | a dan c | b , maka c ≤ d 

Dengan kata lain, fpb dari dua bilangan bulat adalah bilanganbulat terbesar yang dapat membagi kedua bilangan tersebut.

Sifat berikut mengidentifikasikan bahwa FBP (a,b) dapat di oprasikan sebagai kombinasi linier a dan b.

Sifat 1

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan keduannya tidak nol maka ada bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga
fpb (a,b)= ax+by

Perhatikan himpunan S adalah semua kombinasi linier positif dari a dan b

Sifat 2

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat nol maka himpunan
T= (ax=by )  x, y

 Misalkan a dan b bilangan  bilangan-bilngan bulat )

Sifat 3

Misalkan a dab b bilangan bilangan bulat, keduanya tidak nol, a dan b adalah saling prima jika dan hanya jika ada bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 1 = ax+by.

Bukti

Jika a dan b saling prima maka fpb (a,b)= 1. Sifat satu menjamin bahwa ada bilangan bualat x dan y yang memenuhi 1 = ax + by konversnya, missal 1= ax+ by untuk suatu x dan y, dan d fpb (a,b), karena d  b, d  (ax + by), atau  d\ 1

Sifat 4

Jika fpb (a,b)= d maka fpb (a/d, b/d)= 1

Bukti

Perlu kita ketahui bahwa a/b dan b/d adalah bilngan bilangan bulat
karena fpb (a,b)= d, ada bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga d=ax+ by dengan membagi setiap ruas oleh d, diperolah, 1=(a/d)x+(b/d)y.

Sifat 5

Jika a\ c dan a\ c, dengan FPb = 1 maka ab \ c

Bikti

Karena a\ c dan a\ c, ada bilanagn-bilangan bulat r dan s sedemikian sehingga c= ar=bs. FPB (a,b)=1 mengakibatkan 1 = ax + by untuk suatu x dan y bilangan bulat

1. Menggunakan Faktor Persekutuan

Faktor persekutuan merupakan  faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih dan FPB itu sendiri adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu.

Contoh:

carilah  FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :

Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}
Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}
Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4
Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 4

2. Menggunakan Faktorisasi Prima

Pada cara ini kita ambil bilangan faktor yang sama, selanjutnya ambil yang terkecil dari 2 atau lebih bilangan.

Contoh:

a. carilah  FPB dari 4, 8 dan 12?

Penyelesaian :

buatlah  pohon faktornya

sehingga faktor dari 4, 8 dan 12 yang sama adalah 2, dan  yang terkecil adalah 2² = 4
Maka FPB dari 4, 8 dan 12 adalah 4

b.Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 30

• 2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.
• Pangkat terendah dari 2 adalah 1.
• Pangkat terendah dari 5 adalah 1.
• Maka FPB =  2 X 5  =  10

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL

(KPK)

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat tak nol a dan b, dilambangkan KPK (a,b), adalah bilangan positif m yang memenuhi:

                                i.            a\ m dan b \ m

                              ii.            jika a\c dab b c dengan c > 0 maka m ≤ c.

sifat 1 untuk bilangan bulat positif a dan b berlaku:

         FPB (a,b), KPK (a,b)= ab

Sifat 2 untuk bilangan-bilangan bulat positif an dan b, KPK (a,b)= ab jika dan hanya jika FPB (a,b)=1. Sifat ini hanya merupakan akhibat dari sifat 1.

Sebagai ilustrasinya, karena FPB (3054,12378)=6, kita dapat dengan cepat memperoleh KPK (3054,12378) yaitu:

KPK (3053,12378) = 3053.12378/FPB(3054,12378)

                                = 3053.12378/6

                                = 6300402.

                              1.            Metode Irisan Himpunan

Di dalam metode irisan himpunan, pertama kita tentukan himpunan kelipatan-kelipatan positif dari bilangan pertama dan bilangan kedua. Kemudian kita tentukan himpunan persekutuan kelipatan dari bilangan-bilangan itu dan akhirnya kita pilih bilangan terkecil dari himpunan itu. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p,q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.Contoh 1: Tentukan KPK dari 8 dan 12 !
Jawab:
Misalkan himpunan-himpunan kelipatan positif dari 8 dan 12 berturut-turut adalah K8 danK12.
K8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72
K12 = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108
Himpunan kelipatan persekutuannya adalah :K8 = K12 = 240, 480, 720 …..
Karena bilangan terkecil dari K8 C K12 adalah 24, KPK dari 8 dan 12 adalah 24, ditulis KPK (8,12) = 24.

                              2.            Metode Faktorisasi Prima

Metode irisan himpunan untuk menentukan KPK sering kali terlalu panjang, khususnya ketika digunakan untuk menentukan KPK dari tiga atau lebih bilangan-bilangan asli. Metode lain yang mungkin lebih efisien untuk menentukan KPK dari beberapa bilangan adalah metode faktorisasi prima. Jadi, KPK diperoleh dengan cara mengalikan semua faktor jika ada faktor dengan bilangan pokok yang sama, pilih pangkat yang tertinggi.

Contoh:                                         

Tentukan KPK (8 dan 12)

8 = 2²x4

12=2²x3

Jika m KPK 8m 12 maka m adalah sebuah kelipatan dari 8 dan ini harus memuat 2² dan 4 sebagai faktornya, juga m adalah kelipatan 12 dan ini harus memuat 2² dan 3 sebagi faktornya. Maka m = 2²x 4x3=48.

                              3.            Alogaritma Euclide

Cara ini sangat berguna untuk mencari KPK dari dua buah bilangan a dan b jika dengan faktorisasi prima tidak mudah untuk ditemukan

Contoh:

Tentukan KPK (731, 952),

Jawab:

Dengan menggunakan alogaritma Euclide diperoleh

FPB (731, 952)= 17

KPK (731, 952)          =(731, 952)= 17

                                    =40936

                              4.            Pembagian dengan bilangan prima
Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.
₂ 2460
  12 30
Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai kita mempunya semua bilangan prima di sebelah kiri dan di bagian bawah.
      ₂  24 60
      ₂  12 30
      ₃   6 15
         2 5
    KPKnya adalah 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120.